[Simcenter Amesim] Reduced Order Model - Modal CMS (2)

이전 포스트에서 구조물의 차수 축소 모델의 계산 효율에 대해 알아 보았는데 이번 포스트에서는 어떻게 Nodal 좌표계로 변환 되는지에 대해 아래와 같은 2자유도 시스템을 통해 방법론 적인 이야기를 담아 볼까 합니다.

 

2자유도 비감쇠 모델의 질량, 강성, 감쇠값은 아래와 같다고 가정 하겠습니다.

General 2-DOF Mass-Spring-Damper System

 

이 시스템의 운동 방정식을 자유물체도를 기반으로 구성하면 다음과 같습니다. (운동방정식의 유도 과정은 생략합니다.)

 

질량과 강성을 아래 수식에 적용하면 다음과 같습니다.

위 연립 미분 방정식의 해법인 특성 방정식의 근인 고유값 (Eigen Value)을 아래와 같이 구성할 수 있습니다.(미분 방정식을 풀어 응답을 확인 하고자 함이 아니니 초기조건은 생략합니다.)

변위 벡터가 0이 되지 않도록 하기 위해 좌측 행렬의 Determinant 를 계산하면 고유값(Eigen value)을 계산 할 수 있습니다.

위 얻어진 고유값(Eigen value)을 통해 시스템의 고유진동수와 고유진동수에서의 각 노드의 응답의 형상을 계산할수 있습니다.  

 

CMS 방법을 이용한 모델 축소 과정에서 중요하게 고려되는 부분은 고유값과 고유 벡터 이며 구조 해석에서 각각 고유 진동수(Natural Frequency)와 모드 형상(Mode Shape)이라고 이야기 합니다.  위 계산 결과의 물리적 의미는 1차모드의 고유 진동수 (Natural Frequency)는 0.50329 Hz 이고 외부 가진이 0.50329 Hz로 작용할 때의 모드 형상(Mode Shape)은 동일한 방향, 동일한 크기로 조화 진동 하는 형상이라는 의미 입니다.

1차 모드 (0.50329 Hz)에서의 모드 형상

동일하게 2차모드의 고유 진동수 (Natural Frequency)는 0.87172 Hz 이고 그 때의 모드 형상(Mode Shape)은 서로 반대 방향, 동일한 크기로 조화가진 되는 형상이라는 의미 입니다.

2차 모드 (0.87172 Hz)에서의 모드 형상 

 

위의 과정에서 계산한 고유 값과 고유 벡터의 대수적 연산을 통해 기존 데카르트 좌표계에서 구성한 운동 방정식이 Modal 좌표계로 변환되는데 어떤과정으로 변환 되는지 다음 포스트에서 계속 해서 알아보도록 하겠습니다.