[Simcenter Amesim] Reduced Order Model - Modal CMS (3)

이전 포스팅에서 2자유도 비감쇠 시스템의 Nodal 좌표계의 운동방정식에서 고유값(Eigen Value)과 고유벡터(Eigen Vector)를 구해 보았으며, 물리적 의미를 살펴 보았습니다. 본 포스팅에서는 이전에 구한 고유값(Eigen Value)과 고유벡터(Eigen Vector)를 통해 Modal 좌표계로의 변환 하는 방법을 살펴 보겠습니다.

 

일반적으로 진동 모드는 서로 직교하지만 질량 행렬에 대해 직교 하지 않습니다.  이러한 특성을 위해 다음과 같이 정규화된 질량을 가지도록  고유벡터의 크기를 다시 조절 해야 합니다. 먼저 고유 벡터와 관련하여 정규화된 질량과 강성을 아래와 같이 계산합니다.

정규화된 질량과 강성 값을 통해 각 모드에서의 고유값과의 관계를 확인 해봅니다. 예상한 것과 같이 고유 벡터를 다른 방식으로 정규화 해야 하는 경우 M1, M2, K1, K2는 일반적으로 다르지만 각각의 비율은 변하지 않습니다.

 

 

다음으로 φ1과 φ2를 정규화 질량행렬을 구하기 위해 M1,  M2을 통해  재정규화 합니다. 

위와 같은 재정규화 과정을 거치면 질량행렬과 강성행렬의 각각의 고유벡터(mode shape vector)와 다음과 같은 관계를 가지게 됩니다.

변위 벡터 X(t)를 정규화된 좌표 q1(t), q2(t)로 아래와 같이 표현합니다. 수학적인 맥락에서 qi(t)는 정규화( generalized) 좌표 또는 주(principal) 좌표라고 이야기 하며 직교 정규화(orthonormalized) 모드 형상의 진폭을 나타냅니다. 아래의 식은 선형 동적 시스템의 일반적인 특징인 모달 중첩의 한 예시 입니다.

또한 여기서 모달행렬 Φ는 아래와 같이 질량행렬에 직교한 고유 벡터(Mode Shape Vector)를 열로 쌓은 형태로 구성 됩니다.

모달 행렬의 구성

 시스템의 질량 행렬과 강성 행렬은 모달행렬과 다음과 같은 관계를 가집니다. 질량행렬은 단위 행렬로 강성행렬를 모드별 고유값으로 구성된 대각 행렬로 구성 됩니다.   

모달 행렬과 질량행렬, 강성 행렬간의 관계

 

따라서 모드 좌표계에서 운동방정식은 다음과 같이 유도 되며 각각 q1(t), q2(t)에 대한 2계 선형 미분방정식으로 정리됩니다.

 

 

 

결과적으로 Nodal 운동 방정식과 Modal 운동 방정식은 아래와 같으며 두식은 이론적으로 동일한 운동 방정식으로 모드 좌표계에서 q는 각 모드의 변형량을 의미 합니다. 또한 모달 좌표계에서 질량행렬은 단위행렬이 되고, 강성행렬은 고유값(Eigen Value)으로 이루어진 대각 행렬로 구성되어 노드 좌표계에서는 각각의 항이 연결된 연립 미분식 방정식으로 해를 구해야 되는 반면 모달 좌표계에서의 운동방정식은 각각의 행이 독립된 선형 미분방정식으로 구성되게 되어 계산상의 이점을 가지 됩니다.

 

Nodal Eqation of Motion

Modal Equation of Motion